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2018年1月14日日曜日

数学の定理を真に理解するには、その定理や証明の論理的骨組みだけではなく、その定理が意味する直感的概念や、創案者や証明者を導いた奥深い理由をも知る必要がある。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）

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数学を理解するとは？ 【数学の定理を真に理解するには、その定理や証明の論理的骨組みだけではなく、その定理が意味する直感的概念や、創案者や証明者を導いた奥深い理由をも知る必要がある。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）】 　数学の定理を真に理解するには、その定理や証明...

我々の感覚は、三次元に制限されてはいるが、多次元幾何学においても、なお、感覚を用いて知性の助けとすることが可能である。解析の問題も、幾何学に引きなおすことによって、簡潔な表現を可能にし、進むべき道を発見させてくれる。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）

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多次元幾何学 【我々の感覚は、三次元に制限されてはいるが、多次元幾何学においても、なお、感覚を用いて知性の助けとすることが可能である。解析の問題も、幾何学に引きなおすことによって、簡潔な表現を可能にし、進むべき道を発見させてくれる。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）...

幾何学の公理は、規約であり、扮装を着けた定義に過ぎない。我々は、それらの公理が矛盾を導かない限り、それを自由に選択することができる。ユークリッド幾何学以外の数ある幾何学が可能であるが、そのいずれが実験的真理であるかということは、数学ではなく物理学の問題である。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）

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幾何学の公理 【幾何学の公理は、規約であり、扮装を着けた定義に過ぎない。我々は、それらの公理が矛盾を導かない限り、それを自由に選択することができる。ユークリッド幾何学以外の数ある幾何学が可能であるが、そのいずれが実験的真理であるかということは、数学ではなく物理学の問題である。...

数学的帰納法（もしくは、これと同等の公理）は、「任意の特定の正の整数について、必要ならいつでも具体的に推論を展開できる」という、理知の能力を肯定することにほかならない。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）

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数学的帰納法 【数学的帰納法（もしくは、これと同等の公理）は、「任意の特定の正の整数について、必要ならいつでも具体的に推論を展開できる」という、理知の能力を肯定することにほかならない。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）】 　数学的帰納法について。「それではなぜ...

数学において「無限」の推論を支える公理は、経験により検証可能なものではない。そうかと言って、恣意的な規約とも思えず、自明なものとして服従を強制されているかのようである。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）

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無限とは何か？ 【数学において「無限」の推論を支える公理は、経験により検証可能なものではない。そうかと言って、恣意的な規約とも思えず、自明なものとして服従を強制されているかのようである。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）】 　数学の定理に「無限」がかかわってくると...

問題：諸公理と推論規則による演繹体系である数学は、なぜ、大規模な同語反復に帰しないのであろうか。この豊かな諸成果は、何からもたらされるのか？（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）

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数学の豊かさの由来 【問題：諸公理と推論規則による演繹体系である数学は、なぜ、大規模な同語反復に帰しないのであろうか。この豊かな諸成果は、何からもたらされるのか？（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）】 　数学の豊かな諸成果は、いったい何からもたらされるのだろうか。数...