予測可能性
予測可能性と安定性は積分可能系だけが持っている性質である。古典力学において、一般に非可積分系では、どの出来事も他のすべての出来事の原因である。(イーヴァル・エクランド(1944-))
「今述べた予測可能性と安定性は、のちに見るように、どちらも積分可能系だけがもってい る性質である。しかし古典力学があまりにも長い間可積分系ばかりあつかってきたせいで、わ たしたちの頭には因果関係についての誤った考えがこびりついてしまった。一般に、非可積分 系が教えてくれる数学的真実とは、どの出来事も他のすべての出来事の原因であるということ だ。すなわち、明日何が起こるかを予測するには、今日起こっていることを《すべて》勘定に 入れなければならない。「因果列」――各々の出来事が次の出来事の(唯一)の原因になってい るようなひと繋がりの出来事の鎖――は、きわめて特殊な場合にしか存在しない。可積分系はま さにそのような特殊な場合に当たり、明確な因果列が存在する。ところがこの可積分系ばかり を長いこと相手にしてきたために、わたしたちはこの世界を、互いにほとんど干渉しあわない ばらばらの因果列が束ねられているだけのものとして見るようになってしまった。たとえばわ たしが通りを歩いているとする。自分のことで頭がいっぱいで、屋根の上を風が吹いているこ となど気にもかけていない。どうしてそんなことを気にする必要があろう。風は別の因果列に 属しており、わたしの因果列とは関係なく、別のルールに従って変化していく。それに風のほ かにも同時進行しているものはたくさんある。それらをいちいち追いかける必要などありはし ない。その上わたしは世界が予測可能で安定していると思っている。わたしはきっと待ち合わ せの場所に着くだろう。今、五分遅れているから、到着も五分くらい送れるだろう。 だがこの見込みは不測の出来事によって打ち砕かれるかもしれないのだ。風で屋根瓦が一枚 吹き飛ばされ、わたしの頭に当たれば、未来の約束は帳消しになる。互いに無関係 (independent,数学では「互いに独立」と表現される)に見えた二つの因果列はじつは無関 係ではなかった。この悲しい出来事がその結末だ。もしかしたら原因は一つではなく、二つ あったといわれるかもしれない(わたしが待ち合わせの場所に急いでいたことと、突然の強 風)。十九世紀哲学の主流を占めていた古典的な分析によれば、これは予測可能性と安定性に 満ちた世界の中で唯一「偶然」に残された場所だった。二つの無関係な因果列は互いに交叉す ることがある。そして交叉点で起こった出来事はどちらか一方の因果列だけからでは予測でき ない。そこで偶然のせいにされるというわけだ。」 (イーヴァル・エクランド(1944-)『可能な中で最善な世界』(日本語名『数学は最善世界 の夢を見るか?』)第4章 計算から幾何へ、pp.135-136、みすず書房(2009)、南條郁子 (訳))
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