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2018年12月7日金曜日

「無限」という概念は、「可能」という概念についてのより詳細な規定である。可能性は、論理的可能性、即ち記述の可能性であり、事実的経験に関わる必要がない。（ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン（1889-1951））

無限

【「無限」という概念は、「可能」という概念についてのより詳細な規定である。可能性は、論理的可能性、即ち記述の可能性であり、事実的経験に関わる必要がない。（ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン（1889-1951））】

　「かくして「無限」という概念は、「可能」という概念についてのより詳細な規定なのである。

無限な可能性は、それ自身、《言語の無限な可能性》として現われるのである。それは、無限についての言明は意味を持っている、といった事の中に現われるのではない。何故なら、そのような言明は存在しないのであるから。

無限な可能性は無限なるものの可能性を意味してはいない。「無限」という語は、可能性を特徴づけるのであり、現実性を特徴づけるのではないのである。

　線分の無限分割可能性は、或る純粋に論理的なるものである。《この》可能性が経験から発生し得ないことは、全く明らかではないか。

　空間と時間の無限分割可能性、連続性―――これら全ては仮説ではない。それらは、記述の可能な形式についての洞察なのである。

　我々は経験から、空間と時間は或る不連続な構造を持っている、と教えられることはあり得ないのか。もし我々が棒を次々と分割して行き、物理的な理由で限界にぶつかるとすれば、このことは、ある命題によって記述せられる経験的事実である。

しかしこの場合、その命題の否定命題もまた意味を持たねばならない。そしてこの事は、更に進んだ分割についての可能的経験もまた我々は記述できねばならないのだ、という事を意味している。

事実、分子の仮説は、もしそれが意味を有するならば、この更に進んだ分割の可能性を前提しているのである。ここにおいて人は、空間の無限分割可能性は事実に関わることではないのだ、という事を知るのである。

我々がここで必要とする可能性は、《論理的》可能性、即ち記述の可能性なのであり、そしてそれは事実的経験に関わる必要がないのである。

　明らかに我々はここにおいては、仮説を問題にしているのではなく、仮説の設定を可能にするところのものを問題にしているのである。

　もちろん我々は、分割可能性に論理的限界を引くことは出来る。しかしそれは、我々は我々の表現の構文法を変えるのだ、という事を意味するのである。もちろんこの事は、我々は、或る経験を前もって排除するという事ではなく、その経験をその記号法によって表現することを断念するという事なのである。」
（ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン（1889-1951）『ウィトゲンシュタインとウィーン学団』付録Ａ　無限について、全集５、pp.331-332、黒崎宏）
（索引:無限)

ウィトゲンシュタイン全集 5 ウィトゲンシュタインとウィーン学団/倫理学講話

（出典：wikipedia）

「文句なしに、幸福な生は善であり、不幸な生は悪なのだ、という点に再三私は立ち返ってくる。そして《今》私が、《何故》私はほかでもなく幸福に生きるべきなのか、と自問するならば、この問は自ら同語反復的な問題提起だ、と思われるのである。即ち、幸福な生は、それが唯一の正しい生《である》ことを、自ら正当化する、と思われるのである。
　実はこれら全てが或る意味で深い秘密に満ちているのだ！　倫理学が表明《され》えない《ことは明らかである》。
　ところで、幸福な生は不幸な生よりも何らかの意味で《より調和的》と思われる、と語ることができよう。しかしどんな意味でなのか。
　幸福で調和的な生の客観的なメルクマールは何か。《記述》可能なメルクマールなど存在しえないことも、また明らかである。
　このメルクマールは物理的ではなく、形而上学的、超越的なものでしかありえない。
　倫理学は超越的である。」
（ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン（1889-1951）『草稿一九一四～一九一六』一九一六年七月三〇日、全集１、pp.264-265、奥雅博）

ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン（1889-1951）
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何によって「無限」が認識されるのか。それは、感覚や表象、一定の記号体系からは得られない。線分や円周には無数の点があり、ある点を通る直線が無数にあるなど、幾何学的な認識が、その源泉である。(ゴットロープ・フレーゲ(1848-1925))

何によって無限が認識されるか

【何によって「無限」が認識されるのか。それは、感覚や表象、一定の記号体系からは得られない。線分や円周には無数の点があり、ある点を通る直線が無数にあるなど、幾何学的な認識が、その源泉である。(ゴットロープ・フレーゲ(1848-1925))】

(1)無限の認識は、感覚、表象、記号からは得られない。
　(1.1)感覚知覚からも、無限なものは何も得られない。
　(1.2)無限は、表象できない。
　(1.3)数を、一定の記号体系そのものとみなすならば、やはり無限が理解できない。
(2)それにもかかわらず、形式的算術の記号体系の内容、意義としての数や無限が存在するように思われる。我々の、この無限の理解は、何によってもたらされるのかが問題である。
(3)例えば、線分や円周には無数の点があり、ある点を通る直線が無数にあるなど、幾何学的な認識が、無限の認識の源泉である。

　「幾何学的な認識の源泉から、言葉の本来のそして最も強い意味での無限が得られる。ここでわれわれは日常の言語使用から眼を転じるべきである。日常の言語使用においては、「無限に大きい」と「無限に多い」は「きわめて大きい」や「きわめて多い」以上のいかなることも語らないからである。どの（直）線分にも、どの円周にも無限に多くの点があり、どの点にもそれを通る無限に多くの直線がある。われわれがこれらを全体として個々独立に表象できないということはどうでもよい。ある人はより多くを表象でき、またある人はより少なくしか表象できないかもしれないが、われわれはここで心理学や表象や主観的なものの領域にいるわけではなく、むしろ客観的なものの領域、真なるものの領域に立っているのである。ここで、幾何学と哲学は最も近づいている。」（中略）「これらの学問は、双方にとって損害をもたらすほど互いに疎遠であり続けてきた。そうであるから、結局のところ形式的算術、数は数記号にほかならないという見解、が支配的になってきたのである。おそらくその時代はいまだ過ぎ去ってはいないであろう。そのような見解に人々はどうやって到ったのか。数を学問的に取り扱おうとするならば、数として何を理解するかを言う義務を誰でも感じる。この概念的な課題に向かうと誰もが自分の無力さを認識し、即座に数のかわりに数記号を説明する。なぜなら、これらのものは、石や植物、星が見えるように、もちろんあなたの目に見えるからである。あなたはたしかに、石が存在することを疑わない。同じようにあなたは、数が存在することを疑うことはできない。あなたは、数が何ものかを意味する、あるいは数がある内容をもつ、という考えを拒みさえすればよい。そうしないと、われわれは実際その内容を示さなければならず、それは信じられないような困難に導くからである。これらの困難を避けるということがまさしく、形式的算術の強みにほかならない。数が一定の記号の内容や意義ではないということをいくら明確に強調しても強調しすぎということはないのは、そのためである。むしろ、これらの数記号それ自体がまさしく数であり、いかなる内容も意義もまったくもたないのである。哲学的理解のいかなる痕跡も見いだせない者だけがそのように語れる。そのとき、数命題は何も語ることはできないし、数はまったく何の役にも立たず、無価値なものとなる。
　感覚知覚からはいかなる無限なものも得られない、ということは明らかである。また、われわれの目録にどれほど多くの星を取り込むことができるにせよ、それは決して無限に多くではありえないし、大洋の浜辺にある砂粒についても同様である。それゆえ、われわれがどこで無限を正当に承認するにせよ、その承認を感覚知覚から得ようとはしてこなかった。これを得るためには、特別な認識の源泉が必要とされるのであり、幾何学的な認識の源泉はそのようなものの一つなのである。
　空間的なものと並んで、さらに時間的なものが承認されなくてはならない。これにもまた、一つの認識源泉が対応し、この源泉からもわれわれは無限を引き出す。両方向に無限の時間は、両方向に無限な直線に似ている。」
（ゴットロープ・フレーゲ（1848-1925）『数学と数学的自然科学の認識源泉［一九二四／二五］』292-294、フレーゲ著作集５、pp.306-308、金子洋之）
(索引: 無限)

フレーゲ著作集〈5〉数学論集

（出典：wikipedia）

「1. 思考の本質を形づくる結合は、表象の連合とは本来異なる。
2. 違いは、［思考の場合には］結合に対しその身分を裏書きする副思想（Nebengedanke）が存在する、ということだけにあるのではない。
3. 思考に際して結合されるものは、本来、表象ではなく、物、性質、概念、関係である。
4. 思想は、特殊な事例を越えてその向こう側へと手を伸ばす何かを常に含んでいる。そして、これによって、特殊な事例が一般的な何かに帰属するということに気づくのである。
5. 思想の特質は、言語では、繋辞や動詞の人称語尾に現われる。
6. ある結合［様式］が思想を形づくっているかどうかを識別するための基準は、その結合［様式］について、それは真であるかまたは偽であるかという問いが意味を持つか否かである。
7. 真であるものは、私は、定義不可能であると思う。
8. 思想を言語で表現したものが文である。我々はまた、転用された意味で、文の真理についても語る。
9. 文は、思想の表現であるときにのみ、真または偽である。
10.「レオ・ザクセ」が何かを指示するときに限り、文「レオ・ザクセは人間である」は思想の表現である。同様に、語「この机」が、空虚な語でなく、私にとって何か特定のものを指示するときに限り、文「この机はまるい」は思想の表現である。
11. ダーウィン的進化の結果、すべての人間が 2+2=5 であると主張するようになっても、「2+2=4」は依然として真である。あらゆる真理は永遠であり、それを［誰かが］考えるかどうかということや、それを考える者の心理的構成要素には左右されない。
12. 真と偽との間には違いがある、という確信があってはじめて論理学が可能になる。
13. 既に承認されている真理に立ち返るか、あるいは他の判断を利用しないかのいずれか［の方法］によって、我々は判断を正当化する。最初の場合［すなわち］、推論、のみが論理学の対象である。
14. 概念と判断に関する理論は、推論の理論に対する準備にすぎない。
15. 論理学の任務は、ある判断を他の判断によって正当化する際に用いる法則を打ち立てることである。ただし、これらの判断自身は真であるかどうかはどうでもよい。
16. 論理法則に従えば判断の真理が保証できるといえるのは、正当化のために我々が立ち返る判断が真である場合に限る。
17. 論理学の法則は心理学の研究によって正当化することはできない。
」（ゴットロープ・フレーゲ（1848-1925）『論理学についての一七のキー・センテンス』フレーゲ著作集４、p.9、大辻正晴）

ゴットロープ・フレーゲ（1848-1925）
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2018年5月16日水曜日

21.種族のイドラの一例：宇宙の果ての向こう側とか、永遠の時間とか、無限に可分的な線分とか、限りなく原因を考えること。（フランシス・ベーコン(1561-1626)）

種族のイドラ

【種族のイドラの一例：宇宙の果ての向こう側とか、永遠の時間とか、無限に可分的な線分とか、限りなく原因を考えること。（フランシス・ベーコン(1561-1626)）】
　種族のイドラの例：人間の知性は静止することができず、常により先に何かがあると考える。このため、世界の究極や極限とか、永遠に関すること、線がどこまでも可分的であるなどと考えるようになる。また、本来は原因を求め得ずそのまま肯定的なものにまで、原因を求めるようになるのも、知性のこの働きによる。

　「人間の知性は絶えずいらいらして、静止もしくは休止することができず、常に先へ進もうとするが、しかし無駄働きなのである。

それゆえに〔知性にとっては〕世界の究極もしくは極限なるものは思惟され得ず、常により先に何かがあるということが、いわば必然的に生ずる。

さらにまた永遠がどのような仕方で、今日まで流れてきたかということも思惟され得ない。」（中略）

「線がどこまでも可分的であるという細かしい理屈も同様であって、思惟の〔止まることの〕不能からくる。

ところが精神のこの不能は、原因を見出してゆく場合に、より大きな災いを伴って障害を与える。

というのは、自然における最も普遍的なものは、それらが見出されるごとく、また実際原因を求め得ないように、本来〔そのままの〕肯定的なものであるべきなのに、人間の知性は止まることを知らずして、なお〔自然に関して〕よりもとのものを求める。」
（フランシス・ベーコン(1561-1626)『ノヴム・オルガヌム』アフォリズム　第一巻、四八、pp.89-90、[桂寿一・1978]）
（索引：種族のイドラ、無限、永遠、原因）

ノヴム・オルガヌム―新機関 (岩波文庫青 617-2)

（出典：wikipedia）

　「不死こそ、子をうみ、家名をあげる目的であり、それこそ、建築物と記念の施設と記念碑をたてる目的であり、それこそ、遺名と名声と令名を求める目的であり、つまり、その他すべての人間の欲望を強めるものであるからである。そうであるなら、知力と学問の記念碑のほうが、権力あるいは技術の記念碑よりもずっと永続的であることはあきらかである。というのは、ホメロスの詩句は、シラブル一つ、あるいは文字一つも失われることなく、二千五百年、あるいはそれ以上も存続したではないか。そのあいだに、無数の宮殿と神殿と城塞と都市がたちくされ、とりこわされたのに。」（中略）「ところが、人びとの知力と知識の似姿は、書物のなかにいつまでもあり、時の損傷を免れ、たえず更新されることができるのである。これを似姿と呼ぶのも適当ではない。というのは、それはつねに子をうみ、他人の精神のなかに種子をまき、のちのちの時代に、はてしなく行動をひきおこし意見をうむからである。それゆえ、富と物資をかなたからこなたへ運び、きわめて遠く隔たった地域をも、その産物をわかちあうことによって結びつける、船の発明がりっぱなものであると考えられたのなら、それにもまして、学問はどれほどほめたたえられねばならぬことだろう。学問は、さながら船のように、時という広大な海を渡って、遠く隔たった時代に、つぎつぎと、知恵と知識と発明のわけまえをとらせるのである。」
（フランシス・ベーコン(1561-1626)『学問の進歩』第一巻、八・六、pp.109-110、[服部英次郎、多田英次・1974]）（索引：学問の船）

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2018年1月14日日曜日

数学において「無限」の推論を支える公理は、経験により検証可能なものではない。そうかと言って、恣意的な規約とも思えず、自明なものとして服従を強制されているかのようである。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）

無限とは何か？

【数学において「無限」の推論を支える公理は、経験により検証可能なものではない。そうかと言って、恣意的な規約とも思えず、自明なものとして服従を強制されているかのようである。（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)）】
　数学の定理に「無限」がかかわってくるときに、数学的帰納法（もしくは、これと同等の、正の整数のどんな集合のうちにも、集合中のほかのどれよりも小さい一数がいつでも存在という公理。）が必要になる。この数学的帰納法による証明は、我々が実際に無限の推論を展開できるわけではないという意味で、経験から真であることが知られるわけではない。またそれが、無限にかかわる限り、争うことのできない自明なものとして服従を強制されているように思われることから、任意に採否が決められる「規約」とも思えない。
　「もしある定理が１なる数について真であって、この定理が n なる数につき真であるかぎり、 n + 1 なる数についても真であることを証明したならば、この定理は正の整数すべてについて真であるとする「出直し法」による推理の根拠となる判断は別の形に直すことができる。たとえば相異なる正の整数の無限集合のうちには、集合中のほかのどれよりも小さい一数がいつでも存在するといえる。一つの命題から別の命題に容易に移れるところをみると、出直し法による推理の正当なことを証明したという幻想を抱く人もあるかもしれない。しかしいつでも途中で障害にあう、いつでも証明し得ない公理に到達する。そうしてこれは根本においては、証明すべき命題を別の言葉に翻訳したものにほかならない。
　だから出直し法による推理の規則は矛盾律に引き直し得ないというその結論からまぬかれることはできない。
　そのうえこの規則は経験から来たのでもない。経験が我々に教え得るのは、ある規則が例えば十までの数についてとか、百までの数についてとか真であるということで、経験は際限のない数の系列に追いつくことはできない。できるのは、ただこの系列のうちの、長くても短くてもとにかく必ず限られた一部分に過ぎない。
　ところでそれだけの話だとすれば、矛盾律だけで十分である。これによると我々はいつでも欲しいだけの三段論法を展開することができる。ところがただ一つの公式に無限のものを含ませる場合、ただ無限に対する場合だけこの原理は効果を失い、またその場合には経験も同様に無効になる。分析的な証明によっても、経験によっても捕えられないこの規則は先天的総合判断の真の典型である。しかもこれを幾何学の要請のあるもののように、一つの規約と認めようとするわけにもいかない。」
（アンリ・ポアンカレ(1854-1912)『科学と仮説』第1章、6、pp.34-35、河野伊三郎(訳)）
（索引：公理、先天的総合判断、無限、数学的帰納法、出直し法）

科学と仮説 (岩波文庫)

アンリ・ポアンカレ（1854-1912）の命題集（Collection of propositions of great philosophers）

（出典：wikipedia）

アンリ・ポアンカレ（1854-1912）
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9.無限とは、わたしたちがまだ理解し得ていないもの、数え得ていないものに対して、暫定的に与えられた属性にすぎないように思われる。光速度 c、プランク定数 h、プランク長Ｌ_p、そして果てはないが有限な大きさを持つ宇宙。（カルロ・ロヴェッリ（1956-））

無限とは何か？

【無限とは、わたしたちがまだ理解し得ていないもの、数え得ていないものに対して、暫定的に与えられた属性にすぎないように思われる。光速度 c、プランク定数 h、プランク長Ｌ_p、そして果てはないが有限な大きさを持つ宇宙。（カルロ・ロヴェッリ（1956-））】
　「無限」とは何か？　無限とは、わたしたちがまだ理解し得ていないもの、数え得ていないものに対して、わたしたちが与えた名前にすぎない。自然界に存在すると思われていたさまざまな「無限」に、限界があることが分かってきた。自然について多くを学べば学ぶほど、自然はわたしたちに、本当に無限なものなど存在しないと語りかけてくるようである。クオーク、陽子、原子、さまざまな構造をもつ化学物質、山、星、太陽、銀河、銀河の一群、宇宙そのもの。これらは複雑でとてつもなく巨大ではある、しかし「有限」である。例をあげる。
　最大の速さ、光速度 c ：特殊相対性理論は「あらゆる物理的な系が共有する最大速度」を発見した。
　プランク定数 h ：量子力学は「あらゆる物理的な系が共有する情報の最小単位」を発見した。
　最小の長さ　プランク長Ｌ_p　：量子重力理論は、これよりも小さい長さ（空間）が存在しないことを予測する。
　また、宇宙空間は、一般相対性理論により「果てはないが有限」であることが分かった。現在の計測によれば、宇宙の全長は千億光年を超えるとのことである。これは、プランク長のおよそ１０⁶⁰倍に相当する。
　参考：検索（光速度）、検索（プランク定数）、検索（プランク長）、検索（宇宙の大きさ）

　「無限に限界を設定することは、現代物理学に繰り返し登場するテーマである。

特殊相対性理論の内容を一言に圧縮するなら、「あらゆる物理的な系が共有する最大速度（つまり光速）の発見」ということになる。

同じように、量子力学は、「あらゆる物理的な系が共有する情報の最小単位の発見」と要約できる（情報は次章のテーマである）。

最小の長さはプランク長Ｌ_pであり、最大の速さは光速cであり、情報の最小単位はプランク定数hによって規定される。」

（中略）

「三つの定数をもとに自然を描写することは、たんなる形式上の変化に留まらない深遠な意味をもっている。

これら三つの定数が特定されることによって、それまで自然界に存在すると思われていたさまざまな「無限」に、限界が設定されたからである。

無限であるように見えるものは、実際には、わたしたちがまだ理解していなかった（または数えられていなかった）ものでしかないことを、これらの定数は繰り返し示してきた。

わたしが思うに、これは普遍的な真実である。「無限」とは、つまるところ、未知の事物にわたしたちが与えた名前にすぎない。自然について多くを学べば学ぶほど、自然はわたしたちに、本当に無限なものなど存在しないと語りかけてくるようである。

　もうひとつ、人間の思索をつねに惑乱させてきた「無限」がある。それは、宇宙空間の無限の広がりである。

しかし、第３章で解説したとおり、アインシュタインの理論のおかげで、「果てはないが有限な宇宙」について考えるための方法が明らかになった。

現在の計測によれば、宇宙の全長は千億光年を超えるとのことである。これが、わたしたちの住まう宇宙に存在する最大の長さである。これは、プランク長のおよそ１０⁶⁰倍に相当する。１０⁶⁰とは、１のあとに０が六十個つづく数値である。