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2018年1月14日日曜日

数学の定理を真に理解するには、その定理や証明の論理的骨組みだけではなく、その定理が意味する直感的概念や、創案者や証明者を導いた奥深い理由をも知る必要がある。(アンリ・ポアンカレ(1854-1912))

数学を理解するとは?

【数学の定理を真に理解するには、その定理や証明の論理的骨組みだけではなく、その定理が意味する直感的概念や、創案者や証明者を導いた奥深い理由をも知る必要がある。(アンリ・ポアンカレ(1854-1912))】
 数学の定理を真に理解するには、その定理や証明の論理的骨組みだけではなく、その定理が意味する直感的概念や、創案者や証明者を導いた奥深い理由をも知る必要がある。これは例えば、将棋の勝負において次々に指される一連の指し手の全体を貫いている奥深い思い、あるいは、ある種の海綿の珪石からなる繊細な骨格を形づくった今はない生身の海綿、これらを理解することに譬えられる。
 「将棋の勝負の場に居合わせたとき、その勝負を理解するためには、駒の動きに関する規則を知っているだけでは十分ではない。そういう規則を知っていれば、それぞれの手を規則に従って指したのだということを認め得るようになるだけのことであって、それができたからといって、ほんとうのところ大した値打ちはない。ところが、数学の本を読む人が単なる論理型に過ぎないとすると、そういう読者のなすところは、まさに、いま言ったようなことに異ならないのである。勝負を理解するというのはこれとはまったくちがう。勝負を理解するというのは、将棋を指している人が、勝負の規則を破ることなしに駒を動かしてもよかりそうな手がほかにもあるのに、その手を使わないで駒を進めたのはどういうわけかを知ることなのである。それは次々に指される一連の手を全体として、一種の有機体ならしめるような奥深い理由を見てとることなのである。将棋を指す人自身、いいかえると創案者にとって、この能力が必要であるのはなおさらのことである。」
 「おそらくは、たとえ話を乱用すると思われるかもしれないが、もう一つだけたとえ話をすることを許されたい。読者はおそらく、ある種の海綿の骨格を形づくる珪石の針からなる、あの繊細な集落を見たことがあるだろう。有機物質が消えてなくなってしまうと、もろい優美な珪石しか残らない。なるほど、そこには珪石しかないには違いない。が、大切なのはこの珪石がもっている形である。われわれはこの形をまさにこの珪石に刻みつけた生身の海綿を知らなかったならば、この形を理解することはできない。先人たちのかつての直感的概念は、われわれがそれを棄て去ってしまったのちとはいえ、われわれがその代りに設置した論理的骨組みになおもその形を刻みつけているのである。このように全体を見渡すことが、創案者には必要なのである。これはまた創案者を真に理解しようと思う者にとっても同様に必要である。」
(アンリ・ポアンカレ(1854-1912)『科学の価値』第1部、第1章、Ⅴ、pp.38-40、吉田洋一(訳))
(索引:海綿の珪石の喩え、将棋の指し手の喩え)

科学の価値 (岩波文庫 青 902-3)


アンリ・ポアンカレ(1854-1912)の命題集(Collection of propositions of great philosophers)
(出典:wikipedia

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我々の感覚は、三次元に制限されてはいるが、多次元幾何学においても、なお、感覚を用いて知性の助けとすることが可能である。解析の問題も、幾何学に引きなおすことによって、簡潔な表現を可能にし、進むべき道を発見させてくれる。(アンリ・ポアンカレ(1854-1912))

多次元幾何学

【我々の感覚は、三次元に制限されてはいるが、多次元幾何学においても、なお、感覚を用いて知性の助けとすることが可能である。解析の問題も、幾何学に引きなおすことによって、簡潔な表現を可能にし、進むべき道を発見させてくれる。(アンリ・ポアンカレ(1854-1912))】
 幾何学において我々の感覚が役だつ範囲は、三次元空間までに制限されてはいるが、これを超える多次元幾何学においても、なお、感覚を用いて知性を援助せしむることが大切である。たとえ像としては、もとより不完全ではあっても、可視空間を心にうかべることにより、複雑なことを理解せしめ、簡潔な表現を可能にし、進むべき道を発見せしめる点において、役にたつのである。例えば、解析の問題も、幾何学的の形に引きなおすことによって、解析の言語をもってしては冗長な文章で述べなければならないことを、きわめて簡潔な用語で表現できるようになる。
 「幾何学の大きな特長は、感覚が知性を援助して、進むべき道を発見せしめる点に正に存するのであって、多くの人々は解析の問題を幾何学的の形に引きなおすことを選ぶのである。不幸にして感覚の役だつ範囲はあまりひろくなく、ひとたび吾々が伝統的の三次元の外へ飛び出ようとすれば、感覚はたちまち吾々を見捨ててしまう。それでは、吾々は感覚が吾々を閉じ込めようと欲するように見えるこの狭い領域を出ずれば、もはや純粋解析のみにたよらなければならず、三次元以上の幾何学はすべて空虚にして対象なきものであるということになるのであろうか。吾々に先だつ時代に於ては、もっとも偉大な数学の巨匠も、「然り。」と答えたであろうが、吾々は今やこの概念によく親しんだので、大学の過程に於てすらこれについて語っても、何等過大な驚異を起こさしめないに至った。
 しかしながら、この多次元幾何学は何の役にたつであろうか、これは容易に解することができる。第一に、きわめて便利な言語を吾々に供して、通常の解析の言語を以ってしては冗長な文章で述べなければならないことを、きわめて簡潔な用語を以って言表すことを得しめる。その上、この言語は吾々をして相似たものを同じ名で呼ばしめ、類似を強調して、今後忘れることのできないようにしてしまう。なおまたこれにより、吾人は絶えず可視空間を心にうかべつつ、あまりに偉大に過ぎて我々の見るを得ない彼の高次空間に向かうことが可能になる。この可視空間は、高次空間の像としてはもとより不完全ではあるが、しかもその像たることには相違がない。この場合にもまた、前の例に於ける如く、複雑なことを理解せしめるものは単純なものとの類似にほかならないのである。」
(アンリ・ポアンカレ(1854-1912)『科学と方法』第1篇、第2章、pp.46-47、吉田洋一(訳))
(索引:多次元幾何学、可視空間、感覚、解析)

科学と方法―改訳 (岩波文庫 青 902-2)


アンリ・ポアンカレ(1854-1912)の命題集(Collection of propositions of great philosophers)
(出典:wikipedia

アンリ・ポアンカレ(1854-1912)
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