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2018年12月3日月曜日

(1)公理系が無矛盾なら、それは「真」であり、定義されたものは「存在」すると言い得る、(2)概念は、概念の諸関係によってのみ論理的に定義され得る。(3)公理系は、論理構造が同じ無数の体系に適用可能である。(ダフィット・ヒルベルト(1862-1943))

公理主義

【(1)公理系が無矛盾なら、それは「真」であり、定義されたものは「存在」すると言い得る、(2)概念は、概念の諸関係によってのみ論理的に定義され得る。(3)公理系は、論理構造が同じ無数の体系に適用可能である。(ダフィット・ヒルベルト(1862-1943))】

(1)任意に措定された公理から、いかなる矛盾も帰結しないならば、公理は「真」である。
 (1.1)公理が「真」であることから、「矛盾しない」ということが証明されるわけではない。
 (1.2)このとき、公理によって定義されたものは「存在」すると言ってよい。
(2)公理の構成全体が、完全な定義を与える。
 (2.1)概念は、他の概念に対するその関係によってのみ論理的に確定し得る。この関係を、定式化したものが公理である。このようにして、公理は概念を定義している。
 (2.2)従って、ある公理系に別の公理を追加すれば、追加前の公理を構成していた概念も変化することになる。
 (2.3)公理の構成要素の個別に、構成的に定義する必要はない。
(3)公理系は、必然的な相互関係を伴った諸概念の骨組とか図式といったものであり、特定の「基本要素」を前提とするものではない。いかなる公理系も、無限に多くの体系に対して適用できる。

 「あなたはこう書いておられます。「私が公理と呼ぶのは・・・命題のことです。公理が真であることから、公理は互いに矛盾しないということが帰結します。」他ならぬこの命題を御手紙で拝見するのは、私には大変興味深いことでした。と申しますのも、私はこのような事柄について考え、著述をし、講演するときには、常に正反対のことを言っているからです。つまり、私が言っているのは、もし任意に措定された公理が帰結のすべてを加えても互いに矛盾しないとすれば、こうした公理は真であり、公理によって定義されたものは存在するのだということです。それが私にとって真理と存在の規準なのです。」
(ダフィット・ヒルベルト(1862-1943)『フレーゲ=ヒルベルト往復書簡』書簡四 66、フレーゲ著作集6、p.71、三平正明)
 「3行で点の定義を与えようとするのは、私見によれば不可能なことです。なぜなら、むしろ、公理の構成全体というものが初めて完全な定義を与えるからです。どの公理もやはり定義に対して何がしかの貢献をし、それゆえ新しい公理はどれも概念を変化させます。ユークリッド、非ユークリッド、アルキメデス、非アルキメデス幾何学における「点」は、その都度何か別のものとなります。」
(ダフィット・ヒルベルト(1862-1943)『フレーゲ=ヒルベルト往復書簡』書簡四 66-67、フレーゲ著作集6、p.72、三平正明)
 「あともう一つの意義だけに触れなければなりません。あなたはこう言っておられます。例えば「点」、「間」といった私の概念は、一意的に確定されていない。例えば二〇頁では、「間」は異なった仕方で把握され、そしてそこでは点は数の対である。―――実際そうなのでして、やはり自明なことですが、いかなる理論も必然的な相互関係を伴った諸概念の骨組とか図式でしかなく、そして基本要素は任意の仕方で考えることができます。私の言う点で、何らかの物の体系、例えば愛、法則、煙突掃除夫・・・から成る体系のことを考え、そして次に私の公理全体をこうした物の間の関係として想定さえすれば、私の挙げる命題、例えばピタゴラスの定理はこうした物についても成り立ちます。換言すれば、いかなる理論も常に、基本要素から成る無限に多くの体系に対して適用できます。実際、ただ一対一変換を適用して、こう約定すればよいからです。変換された物に対する公理はそれに対応して同じものでなければならない、と。実際また、こうした事情は度々利用されています。例えば双対原理などで用いられますし、私も独立性証明で用いました。電気理論のすべての言明は、要求した公理が満たされさえすれば、磁気、電気・・・といった概念の代りに置かれる、他のいかなる物の体系についても当然成り立ちます。しかし、言及された事情は決して理論の欠陥ではありえませんし、またいずれにせよ不可避なのです。」
(ダフィット・ヒルベルト(1862-1943)『フレーゲ=ヒルベルト往復書簡』書簡四 67、フレーゲ著作集6、pp.72-73、三平正明)
 「私の見解はこういうことに他なりません。概念というものは、他の概念に対するその関係によってのみ論理的に確定しうる。私は、こうした関係を特定の言明で定式化したものを公理と呼び、こうして公理が(必要なら概念に対する命名を付け加えて)概念の定義だと考えるようになります。私は、この見方を決して退屈しのぎに考え出したわけではなく、論理的推論と理論の論理的構成とにおける厳密性の要求によって、この見方を取らざるをえないということが分かったのです。私は、数学と自然科学においては、一層微妙な事柄はこのようにしてのみ確実に取り扱えるのであり、さもなければただ循環するだけだと確信しております。」
(ダフィット・ヒルベルト(1862-1943)『フレーゲ=ヒルベルト往復書簡』書簡八(葉書) 一九〇〇年九月二二日 79、フレーゲ著作集6、p.89、三平正明)
(索引:公理系,公理主義,公理)

フレーゲ著作集〈6〉書簡集・付「日記」


(出典:wikipedia
ダフィット・ヒルベルト(1862-1943)の命題集(Collection of propositions of great philosophers)
ダフィット・ヒルベルト(1862-1943)
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